CÁLCULO NUMÉRICO: PERGUNTAS DISSERTATIVAS
PERGUNTA DISSERTATIVA DA PROVA [1]
Muitos problemas em engenharia e ciência envolvem o cálculo de integrais definidas. Considere que um engenheiro de pesca precisa calcular o volume de um reservatório de água com formato irregular. Para tanto, ele dispõe de dados de profundidade do reservatório em diversos pontos. Essa determinação é feita com o cálculo de uma integral.
No entanto, nem sempre é possível encontrar uma solução analítica para essas integrais. Nesses casos, a integração numérica se torna uma ferramenta essencial para obter aproximações numéricas do valor da integral.
No cálculo de integrais definidas por métodos numéricos, apresente uma técnica que seria eficiente na resolução do problema do engenheiro e justifique sua resposta.
PERGUNTA DISSERTATIVA DA PROVA [2]
A determinação de raízes de equações não lineares é um problema fundamental em diversas áreas da engenharia e ciência. Muitas vezes, não é possível encontrar soluções analíticas exatas para essas equações, tornando-se necessário o emprego de métodos numéricos.
Fonte: BARROSO, Leônidas C. et. al., Cálculo Numérico (com Aplicações), 2a edição, Editora Harbra, São Paulo, 1987.
Um engenheiro químico está modelando um processo de fermentação. O modelo matemático resultante é uma equação não linear que representa a concentração de um determinado produto em função do tempo.
Sobre o tema, apresente as principais dificuldades numéricas envolvidas na determinação de raízes de equações não lineares e apresente pelo menos duas técnicas numéricas que são eficientes para sua solução, justificando a escolha de cada uma.
PERGUNTA DISSERTATIVA DA PROVA [3]
Vimos três diferentes métodos para determinar raízes reais de funções contínuas. Em teoria, desde que as funções sejam contínuas e as devidas condições de convergência de cada método sejam satisfeitas, podemos dizer que o método de Newton supera o de Bissecção e o da Falsa Posição.
Agora você fará o comparativo dos três métodos. A intenção deste desafio é analisar qual dos métodos chega mais rápido até a raiz. Nosso parâmetro de medida será a quantidade de iterações, porém isso não é uma garantia de velocidade de processamento, pois cada método e função pode oferecer uma dificuldade diferente ao seu processamento e, consequentemente, ao seu sucesso. Portanto, fica a seu cargo a análise do método numérico a ser aplicado para o melhor desempenho nesse processamento, em que só consideraremos a quantidade de iterações.
Seja a função f(x)=x³-x-1 com raiz no intervalo [1, 2], construa uma tabela para o resultado dos três métodos após três iterações. Use arredondamento em três casas decimais. Estime a raiz com uma média entre as duas últimas iterações.
Sabendo que o valor aproximado da raiz procurada é 1,324718, e que, para seis casas decimais de aproximação, o método da Falsa Posição é o que atinge o valor desejado mais rápido, após 17 iterações, faça uma análise do seu processo por meio da observação da tabela construída:
PERGUNTA DISSERTATIVA DA PROVA [4]
Em métodos numéricos, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson), desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta.
Após, calcula-se a equação da reta tangente (derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativo para encontrar a raiz da função.
Descreve brevemente as etapas do método de Newton para realizar análise numérica.
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