Escalas de Redução e Ampliação - Turma Soldador - Aula 1

1) Para classificar uma equação diferencial (ED) é necessário avaliar algumas características. São elas:

1. Analisar se a função incógnita possui uma ou mais variáveis independentes;

2. Analisar o número de funções incógnitas;

3. Analisar a estrutura da equação e

4. Procurar a derivada de maior ordem para classificar a equação quanto a sua ordem.

Adotando a classificação de equações diferenciais, relacione a primeira coluna com a segunda e assinale a alternativa que apresenta a ordem correta para essa relação:

I.             Equação diferencial ordinária de primeira ordem II.            Equação diferencial ordinária de segunda ordem III.          Equação diferencial parcial IV.          Equação diferencial linear

( )  ( )  ( )  ( )

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Alternativas:

• a)

  IV, I, III, II

  
  
• b)

  I, IV, III, II Alternativa assinalada

• c)

  IV, I, II, III

• d)

  I, IV, II, III

• e)

  II, I, III, IV

2)

Uma equação M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é homogênea quando M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas.

Em geral, para resolver uma equação diferencial homogênea, é necessário utilizar substituições algébricas, como, por exemplo y=tx e com isso teremos que dy=tdx+xdt.

Com manipulações algébricas como a citada em EDOs homogêneas, é possível transformá-la de forma que seja possível aplicar o método da separação de variáveis.

 De acordo com o texto-base e os conteúdos das aulas, resolva a EDO  e assinale a alternativa que apresenta a solução para essa equação diferencial.

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Alternativas:

• a)

  

• b)

  

• c)

  

  Alternativa assinalada
• d)

  

• e)

  

3)

Com relação as equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e considerando a equação diferencial homogênea y''+2y'-8y=0. Analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).

 

I. (  ) A equação característica é dada por .

II. (  ) A equação característica possui duas raízes reais e iguais.

III. (   ) A equação característica não possui raízes complexas.

IV. (  ) A solução da equação diferencial é .

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:

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Alternativas:

• a)

  V-F-V-F

  Alternativa assinalada
• b)

  V-V-F-V

• c)

  F-V-F-V

• d)

  F-F-F-V

• e)

  V-F-F-V

4)

A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver problemas de valor inicial (PVI) envolvendo equações diferenciais lineares. Ao aplicar a transformada de Laplace, podemos converter equações diferenciais no domínio do tempo em equações algébricas no domínio da frequência, o que facilita a resolução do problema.

Para aplicar a transformada de Laplace em um PVI, siga os seguintes passos:

1- Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial, usando as propriedades da transformada de Laplace e as condições iniciais.

2- Manipule a equação resultante para isolar a transformada da solução desejada, Y(s) = L{y(t)}.

3- Use a transformada inversa de Laplace para encontrar a solução y(t) no domínio do tempo.

Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial linear de segunda ordem:

y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f(t)

y(0) = 1

y'(0) = 0

onde f(t) é uma função desconhecida. Utilize a transformada de Laplace para determinar qual das seguintes afirmações sobre a solução Y(s) = L{y(t)} no domínio de frequência é verdadeira.

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Alternativas:

• a)

  Y(s) = (F(s) + s - 1) / [(s + 1)(s + 2)]

• b)

  Y(s) = (F(s) + s + 4) / [(s + 1)(s + 2)]

• c)

  Y(s) = (F(s) + s + 3) / [(s + 1)(s + 2)]

  Alternativa assinalada
• d)

  Y(s) = (F(s) - s + 3) / [(s + 1)(s + 2)]

• e)

  Y(s) = (F(s) + 2s + 3) / [(s + 1)(s + 2)]

5)

A transformada de Laplace de funções impulso é importante para resolver equações diferenciais que envolvem impulsos.

A função impulso unitário, também conhecida como função delta de Dirac, é representada por d(t - a), onde 'a' é um parâmetro de deslocamento.

A transformada de Laplace de uma função impulso simplifica o processo de resolução de equações diferenciais com impulsos.

Considere a função f(t) = Ad(t - 1) + Bd(t - 2), onde A e B são constantes.

Utilize a transformada de Laplace e as seguintes asserções para determinar F(s), a transformada de Laplace de f(t):

I) A função delta de Dirac é infinita no ponto de deslocamento e zero em todos os outros pontos.

II) A transformada de Laplace de d(t - a) é 

III) A transformada de Laplace é linear, ou seja, L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)}

IV) A função d(t - a) é uma função contínua.

Avalie as asserções e assinale a alternativa que apresenta apenas as asserções corretas

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Alternativas:

• a)

  Apenas I e III são verdadeiras

• b)

  Apenas II e III são verdadeiras

• c)

  Apenas III é verdadeira

• d)

  Apenas I e IV são verdadeiras

• e)

  Apenas I, II e III são verdadeiras

  Alternativa assinalada