AV1 DE CÁLCULO III [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) Supondo que para resolver um problema envolvendo o cálculo de uma integral tripla, foi adotada a mudança de variáveis considerando as seguintes relações

x = u²      y = v           z = w²

de modo a converter o sistema de coordenadas cartesianas em um novo sistema.

Considerando as relações apresentadas, assinale a alternativa que contém o jacobiano associado à essa mudança de coordenadas.

• a)

  J = 4uw.

• b)

  
  

  J = 2u.

• c)

  J = 2w.

• d)

  J = 2uw.

• e)

  J = 4uvw.

2)

Para o estudo do momento de inércia de um sólido podemos empregar o cálculo de integrais triplas. Considere um sólido de densidade constante, C, e limitado pelos planos x = ±1, z = ±1, y = 3 e y = 5 . Determine o momento de inércia desse sólido em relação ao eixo z.

Assinale a alternativa correta.

• a)

  0.

• b)

   .

• c)

   .

• d)

   .

• e)

   .

3)

No cálculo de integrais triplas podemos adotar diferentes sistemas de coordenadas que são selecionados de acordo com as características da região de integração, ou mesmo da função a ser integrada. Diante disso, considere a função f(x,y,z) = 1 e que a região G  é delimitada por uma semiesfera de raio 1.

Assinale a alternativa que contém o valor da integral da função f(x,y,z) sobre a região G.

• a)

   .

• b)

  1.

• c)

   .

• d)

   .

• e)

   .

4)

Para calcular a integral de linha da função  sobre a curva C definida como o segmento de reta que une os pontos A(-1,0) e B(3,1), é necessário, inicialmente, construir uma parametrização para C.

A partir dessas informações, assinale a alternativa que associa corretamente a integral de linha com a integral definida que pode ser empregada em seu cálculo.

• a)

  

• b)

  

• c)

  

• d)

  

• e)

  

5)

Considere que um pedaço de arame esteja disposto no espaço de tal forma que assume o formato de uma curva C com a seguinte parametrização:

para 0 = t = 2. Se desejamos determinar a massa desse arame podemos empregar o cálculo das integrais de linha sobre C, porém, para isso, precisamos conhecer a função densidade correspondente.

Se a função densidade associada a esse arame é da forma

 

qual é a massa total, em gramas, do arame descrito?

Assinale a alternativa correta.

• a)

  5 g.

• b)

  7,5 g.

• c)

  15 g.

• d)

  21 g.

• e)

  25 g.

ATIVIDADE RESOLVIDA

 

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