ATIVIDADE 4 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR [RESOLVIDA]

Questão 1 Em matemática, mais especificamente em álgebra linear, o núcleo (ou espaço nulo) de uma transformação linear L: V → W entre dois espaços vetoriais V e W, é o conjunto de todos os elementos v de V para os quais L(v) = 0, em que 0 denota o vetor nulo de W.

Considere a transformação linear abaixo:

T(x,y) = x - y

Assinale qual o núcleo dessa transformação:

Alternativa 1: O núcleo é representado por uma reta de equação y = x + 1
Alternativa 2: O núcleo é representado pelo ponto (0,0)
Alternativa 3: O núcleo é representado por uma reta de equação y = x
Alternativa 4: O núcleo é representado pelo plano x - y + z = 0
Alternativa 5: O núcleo é representado pela curva y = x²

Questão 2 As transformações lineares são abordadas em vários momentos na engenharia, seja em circuitos elétricos básicos, seja em aplicações em sistemas massa-mola, entre outros. Conhecendo a transformação abaixo:

T(x,y,z) = (2x - y + z, -x + 3y - z, x + y - 2z)

A imagem dessa transformação linear será:

Alternativa 1: Im = {x(2,-1,1) + y(-1,3,1) + z(1,-1,-2); x,y e z ? R}
Alternativa 2: Im = {x(2,-1,1) + y(2,-1,1) + z(2,-1,1); x,y e z ? R}
Alternativa 3: Im = {x(2,1,1) + y(1,3,1) + z(1,1,2); x,y e z ? R}
Alternativa 4: Im = {x(2,-1,1); x ? R}
Alternativa 5: Im = R

Questão 3 A equação 4x² - 9y² - 8x - 18y - 41 = 0 representa:

Alternativa 1: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 2: Uma hipérbole de equação (x + 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 3: Uma hipérbole de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 4: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 - (y + 1)²/4 = 1
Alternativa 5: Uma elipse de equação (x - 1)²/9 + (y + 1)²/4 = 1

Questão 4 O cálculo de autovalores e autovetores é relacionado à resolução de algumas aplicações práticas de engenharia. Considere a transformação abaixo:
 
T(x,y)=(x,3x+2y)
 
Quais os autovalores e autovetores relacionados a transformação?
 
Alternativa 1: Autovalor = 1 / Autovetor = (1,-3) // Autovalor = -1 / Autovetor = (1,1)
Alternativa 2: Autovalor = 3 / Autovetor = (1,3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,1)
Alternativa 3: Autovalor = 1 / Autovetor = (1,-3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,1)
Alternativa 4: Autovalor = 1 / Autovetor = (1,3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,-1)
Alternativa 5: Autovalor = -1 / Autovetor = (1,-3) // Autovalor = 2 / Autovetor = (0,1)

Questão 5 As duas equações abaixo resumem os conceitos de autovetores e de autovalores. O primeiro conceito está relacionado aos vetores “v” que resolvem a primeira equação descrita. Os autovalores são aqueles escalares para os quais a segunda equação é verdadeira. Estes dois conceitos auxiliam nos cálculos de equações matriciais não convencionais (como envolvendo potenciação de matrizes). 

 

Está correto o que se afirma em:

Alternativa 1: I e II, apenas.
Alternativa 2: II e III, apenas.
Alternativa 3: III e IV, apenas.
Alternativa 4: II, III e IV, apenas.
Alternativa 5: I, II, III e IV.
 

 

 

 

 ATIVIDADE RESOLVIDA

 

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